Как найти массу по закону всемирного тяготения

I. Механика

Как найти массу по закону всемирного тяготения

– По какому закону вы собираетесь меня повесить?
– А мы вешаем всех по одному закону – закону Всемирного Тяготения.

Закон всемирного тяготения

Явление гравитации – это закон всемирного тяготения. Два тела действуют друг на друга с силой, которая обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и прямо пропорциональна произведению их масс.

Математически мы можем выразить этот великий закон формулой

Тяготение действует на огромных расстояниях во Вселенной. Но Ньютон утверждал, что взаимно притягиваются все предметы. А правда ли, что любые два предмета притягивают друг друга? Только представьте, известно, что Земля притягивает вас, сидящих на стуле.

Но задумывались ли о том, что компьютер и мышка притягивают друг друга? Или карандаш и ручка, лежащие на столе? В этом случае в формулу подставляем массу ручки, массу карандаша, делим на квадрат расстояния между ними, с учетом гравитационной постоянной, получаем силу их взаимного притяжения.

Но, она выйдет на столько маленькой (из-за маленьких масс ручки и карандаша), что мы не ощущаем ее наличие. Другое дело, когда речь идет о Земле и стуле, или Солнце и Земле. Массы значительные, а значит действие силы мы уже можем оценить.

Вспомним об ускорении свободного падения. Это и есть действие закона притяжения. Под действием силы тело изменяет скорость тем медленнее, чем больше масса. В результате, все тела падают на Землю с одинаковым ускорением.

Чем вызвана эта невидимая уникальная сила? На сегодняшний день известно и доказано существование гравитационного поля. Узнать больше о природе гравитационного поля можно в дополнительном материале темы.

Задумайтесь, что такое тяготение? Откуда оно? Что оно собой представляет? Ведь не может быть так, что планета смотрит на Солнце, видит, насколько оно удалено, подсчитывает обратный квадрат расстояния в соответствии с этим законом?

Направление силы притяжения

Есть два тела, пусть тело А и В. Тело А притягивает тело В. Сила, с которой тело А воздействует, начинается на теле B и направлена в сторону тела А. То есть как бы “берет” тело B и тянет к себе. Тело В “проделывает” то же самое с телом А.

Каждое тело притягивается Землей. Земля “берет” тело и тянет к своему центру. Поэтому эта сила всегда будет направлена вертикально вниз, и приложена она с центра тяжести тела, называют ее силой тяжести.

Главное запомнить

1) Закон и формулу;
2) Направление силы тяжести

Практическое применение закона*

Некоторые методы геологической разведки, предсказание приливов и в последнее время расчет движения искусственных спутников и межпланетных станций. Заблаговременное вычисление положения планет.

Опыт Кавендиша*

Можем ли мы сами поставить такой опыт, а не гадать, притягиваются ли планеты, предметы?

Такой прямой опыт сделал Кавендиш (Генри Кавендиш (1731-1810) – английский физик и химик) при помощи прибора, который показан на рисунке.

Идея состояла в том, чтобы подвесить на очень тонкой кварцевой нити стержень с двумя шарами и затем поднести к ним сбоку два больших свинцовых шара. Притяжение шаров слегка перекрутит нить – слегка, потому что силы притяжения между обычными предметами очень слабы.

При помощи такого прибора Кавендишу удалось непосредственно измерить силу, расстояние и величину обеих масс и, таким образом, определить постоянную тяготения G.

Уникальное открытие постоянной тяготения G, которая характеризует гравитационное поле в пространстве, позволила определить массу Земли, Солнца и других небесных тел. Поэтому Кавендиш назвал свой опыт “взвешиванием Земли”.

Связь с электричеством*

Интересно, что у различных законов физики есть некоторые общие черты. Обратимся к законам электричества (сила Кулона).

Электрические силы также обратно пропорциональны квадрату расстояния, но уже между зарядами , и невольно возникает мысль, что в этой закономерности таится глубокий смысл.

До сих пор никому не удалось представить тяготение и электричество как два разных проявления одной и той же сущности.

Сила и тут изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния, но разница в величине электрических сил и сил тяготения поразительна. Пытаясь установить общую природу тяготения и электричества, мы обнаруживаем такое превосходство электрических сил над силами тяготения, что трудно поверить, будто у тех и у других один и тот же источник.

Как можно говорить, что одно действует сильнее другого? Ведь все зависит от того, какова масса и каков заряд. Рассуждая о том, насколько сильно действует тяготение, вы не вправе говорить: “Возьмем массу такой-то величины”, потому что вы выбираете ее сами.

Но если мы возьмем то, что предлагает нам сама Природа (ее собственные числа и меры, которые не имеют ничего общего с нашими дюймами, годами, с нашими мерами), тогда мы сможем сравнивать. Мы возьмем элементарную заряженную частицу, такую, например, как электрон.

Две элементарные частицы, два электрона, за счет электрического заряда отталкивают друг друга с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, а за счет гравитации притягиваются друг к другу опять-таки с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния.

Вопрос: каково отношение силы тяготения к электрической силе? Тяготение относится к электрическому отталкиванию, как единица к числу с 42 нулями. Это вызывает глубочайшее недоумение. Откуда могло взяться такое огромное число?

Люди ищут этот огромный коэффициент в других явлениях природы. Они перебирают всякие большие числа, а если вам нужно большое число, почему не взять, скажем, отношение диаметра Вселенной к диаметру протона – как ни удивительно, это тоже число с 42 нулями.

И вот говорят: может быть, этот коэффициент и равен отношению диаметра протона к диаметру Вселенной? Это интересная мысль, но, поскольку Вселенная постепенно расширяется, должна меняться и постоянная тяготения. Хотя эта гипотеза еще не опровергнута, у нас нет никаких свидетельств в ее пользу.

Наоборот, некоторые данные говорят о том, что постоянная тяготения не менялась таким образом. Это громадное число по сей день остается загадкой.

Нюансы о действии притяжения*

Эйнштейну пришлось видоизменить законы тяготения в соответствии с принципами относительности. Первый из этих принципов гласит, что расстояние х нельзя преодолеть мгновенно, тогда как по теории Ньютона силы действуют мгновенно. Эйнштейну пришлось изменить законы Ньютона. Эти изменения, уточнения очень малы.

Одно из них состоит вот в чем: поскольку свет имеет энергию, энергия эквивалентна массе, а все массы притягиваются, – свет тоже притягивается и, значит, проходя мимо Солнца, должен отклоняться. Так оно и происходит на самом деле. Сила тяготения тоже слегка изменена в теории Эйнштейна.

Но этого очень незначительного изменения в законе тяготения как раз достаточно, чтобы объяснить некоторые кажущиеся неправильности в движении Меркурия.

Физические явления в микромире подчиняются иным законам, нежели явления в мире больших масштабов.

Встает вопрос: как проявляется тяготение в мире малых масштабов? На него ответит квантовая теория гравитации. Но квантовой теории гравитации еще нет.

Люди пока не очень преуспели в создании теории тяготения, полностью согласованной с квантовомеханическими принципами и с принципом неопределенности.

Дополнительные источники*

Источник: http://fizmat.by/kursy/dinamika/tjagotenie

Задачи на закон всемирного тяготения

Как найти массу по закону всемирного тяготения

Продолжаю публикацию цикла задачек по физике и астрономии. Сегодня у меня на повестке дня задачи на закон всемирного тяготения — что интересно, так это то, что такие задачи встречаются в задачниках и по астрономии, и по физике.

Для визуализации формул я буду использовать сервис LaTeX2gif, чтобы эти формулы отображались и в RSS-ленте этого блога. В качестве источника для задач я воспользуюсь книгой «Сборник задач по астрономии», выпущенную в Москве издательством «Просвещение» в 1980 году и написанную Михаилом Михайловичем Дагаевым.

Немного теории

Те, кто достаточно хорошо знаком с физикой, может пропустить этот участок статьи, а тем, кто подзабыл её, я привожу краткое теоретическое введение.

Согласно закону всемирного тяготения, на поверхности сферического тела массой M и радиусом R гравитационное ускорение будет определяться выражением (если мы пренебрегаем ослаблением g вследствие вращения тела):
а на поверхности Земли то же ускорение будет

откуда, поделив первое равенство на второе, получим:
где M обязательно выражается в массах Земли и R — в радиусах Земли, а g′ — относительное гравитационное ускорение в сравнении с земным.

В поле тяготения небесного тела на произвольном расстоянии от него гравитационное ускорение
или, учитывая первое равенство
В этой формуле r и R могут быть выражены в любых единицах длины — главное, чтобы они обязательно были одинаковые.

Пример задачи

Условие: Найти гравитационное ускорение, сообщаемое Юпитером своему второму галилеевому спутнику Европе, находящемуся от планеты на среднем расстоянии 670,9·103 км. Масса Юпитера в 318 раз больше земной массы, а средний радиус Земли равен 6371 км.

Дано: Обозначим данные из условия задачи:
спутник, r = 670,9·103 км;
Юпитер, M = 318;
Земля, R0 = 6371 км.

Решение: По формулам (***) и (**) находим искомое ускорение

где g0 = 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Тогда

причем r выражено в радиусах Земли, а масса M — в массах Земли, т. е. в тех единицах измерение, что и в формуле (**).

Поскольку средний радиус Земли R0 = 6371 км, то искомое гравитационное ускорение

Задачи

Итак, список задач для самостоятельного решения, подобных разобранной — все они на закон всемирного тяготения и для их решения достаточно теоретического минимума сверху, плюс немного памяти.

1. Определить ускорение свободного падения на поверхности планет Марса и Венеры, а также астероида Цереры. Массы и радиусы в сравнении с земными: у Марса — 0,107 и 0,533, у Венеры — 0,815 и 0,950, у Цереры — 28,9 · 10-5 и 0,0784.

2. Масса Луны в 81,3 раза, а диаметр в 3,67 раза меньше земных. Во сколько раз вес астронавтов был меньше на Луне, чем на Земле?

3. Чему равно ускорение свободного падения на поверхности Солнца и Сатурна, радиусы которых больше земного в 109,1 и 9,08 раза, а средняя плотность в сравнении с земной составляет 0,255 и 0,127?

4. Какое ускорение свободного падения было бы на поверхности Земли и Марса, если бы при неизменной массе их диаметры увеличились вдвое и втрое? Сведения о Марсе см. в задаче 1.

5. Как изменилось бы ускорение свободного падения на поверхности планеты при увеличении ее массы в m раз, а средней плотности в n раз и, в частности, при m=n?

6. Каким стало бы ускорение свободного падения на поверхности Солнца, если бы при той же массе оно увеличилось в диаметре до размеров земной орбиты? Масса Солнца в 333 тыс. раз больше земной, а его диаметр равен 1392000 км.

7. Как изменилось бы ускорение свободного падения на Земле при неизменной массе и увеличении ее размеров в 60,3 раза, т. е. до орбиты Луны?

8. В каких пределах меняется гравитационное ускорение спутника связи «Молния-3», выведенного на орбиту 14 апреля 1975 г. и облетающего Землю в пределах высоты от 636 км до 40660 км над земной поверхностью? Принять радиус Земли равным 6370 км.

9. Найти гравитационное ускорение двух галилеевых спутников Юпитера, Ио и Каллисто, обращающихся вокруг планеты на средних расстояниях в 5,92 и 26,41 её радиуса. Масса Юпитера равна 318, а радиус — 10,9 земного.

10. Указать расположение общего центра масс Земли и Луны, приняв радиус Земли 6370 км, массу Луны равной 1/81 земной массы и расстояние между телами — 60 земным радиусам.

Ответы к задачам

Ответы к опубликованным задачам для самоконтроля.

1. 3,70, 8,86 и 0,46 м/с2. 2. В 6 раз. 3. 273 и 11,3 м/с2. 4. 2,45, 1,09 и 0,93, 0,41 м/с2. 5. и m. 6. 0,59 см/с2. 7. 0,29 см/с2. 8. От 0,18 до 8,11 м/с2 (в 45 раз). 9. 75 см/с2 и 3,76 см/с2. 10. 4660 км от центра Земли.

Взять PDF-версию этой статьи

Источник: http://astro.altspu.ru/~aw/blog/2010/07/problems-to-the-gravity.html/comment-page-1

PRoAtom

Как найти массу по закону всемирного тяготения
sh: 1: –format=html: not found

Владимир Путин будет наблюдать за пуском ракет в Баренцевом море

Собран первый моторный отсек для нового «стратега» Ту-160М2

В Росатоме рассказали о планах по развитию Севморпути до 2035 …

Атомный контейнеровоз “Севморпуть” завершил свою трудовую вахту в этом году

«Лошарик» отбуксировали из бухты Кут

Снос недостроенной Воронежской атомной станции обойдется в 1,4 млрд рублей

Ростовская АЭС заявил о готовности к работе в зимних условиях

В Волгодонске разогнули 80-тонную трубу для реактора АЭС «Аккую»

ЦНИИТМАШ провел семинар по прочности и сейсмической безопасности оборудования

Сотрудники предприятий Росатома приняли участие в Молодежном дне в рамках РЭН

Интеллектуальный конкурс Science Slam проведут 15 октября в НИЯУ МИФИ

Севастопольский государственный университет готовится отпраздновать свое пятилетие

В РФЯЦ-ВНИИЭФ прошла XIX сессия отраслевой молодежной школы-семинара 

Печат (Сербия): российское ядерное православие и преподобный Серафим Саровский

Началось слушание дел в отношении майнеров из ядерного центра Сарова

О начале объединения заявили пенсионные фонды госкорпораций «Ростех» и «Росатом»

В Димитровграде пожарные открыли памятник и спрятали «капсулу времени»

Димитровград готовится к фестивалю «Театральный АтомГрад»

Масштабный ремонт объектов социальной сферы проводится в Глазове

«Яблоко» призывает остановить опасную деятельность ПО «Маяк»  по утилизации РАО

«Далур» назвал сроки вывода на полную мощность месторождения урана Хохловское

8 октября 1978 года в Якутии был произведен подземный взрыв атомной бомбы

ПАТЭС и соглашения на ВЭФ сделали Чукотку лидером рейтинга устойчивости регионов

На Дальнем Востоке угольную станцию строят по цене атомной

«Медуза»: Немного страшновато за будущее

На блоке №4 Ровенской АЭС реализуют проект системы контроля концентрации водорода

МАГАТЭ представило “Белэнерго” модели выстраивания системы сопровождения АЭС

Беларусь в 2020 году может снизить объем импорта газа из России с учетом запуска АЭС

У Белоруссии есть договоренности по экспорту электроэнергии на 2020 год

Эксперты: кто ждет взрыва на БелАЭС и чем опасно излишнее дружелюбие

Минэнерго Беларуси не обсуждало возможность поставки ядерного топлива из США

Вашингтон посоветовал литовским властям выпить вместо йода успокоительное

Германия дорого платит за выход из атомной энергетики

Закрытие АЭС требует от Бельгии оперативного поиска новых генерирующих мощностей

Через две недели Иран запустит вторую часть ядерного реактора в Араке

Иран оценивает объем компенсации в связи с выходом США из ядерного соглашения

В комитете парламента Киргизии одобрили законопроект о запрете добычи урана

Аудит выявил дефекты в работе системы связи на случай атомной аварии в Японии

Нобелевскую премию по физике получили астрономы

Пентагон нашел способ нейтрализовать Средиземноморскую эскадру ВМФ РФ

Трамп рассказал о разработке новых вооружений

Cессия «Миссия выполнима: ответы науки на глобальные энергетические вызовы» прошла в рамках РЭН

В Сочи пройдет Форум «Глобальное технологическое лидерство»

«Силовые машины» представили на РЭН-2019 систему цифрового мониторинга ГА

Профессор Блобьрег рассказал о силовой электронике и новой эпохе в энергетике

Лауреаты «Глобальной энергии» рассказали, как построить экологически устойчивый мир

Александр Новак 3 октября вручит премию «Глобальная энергия» лауреатам 2019 г.

Датский профессор Фреде Блобьерг прочитает в Москве ряд лекций

1 октября в ВШЭ пройдет лекция «Электроэнергетические системы будущего: опыт стран Ближнего Востока»

4 октября в рамках РЭН-2019 состоится панельная сессия «Миссия выполнима:

ОМЗ-Спецсталь приняла участие в работе международного конгресса «Кузнец-2019»

Первая в России конференция Nature по физике плазмы прошла в Политехе

ИПЕМ опубликовал мониторинг состояния российской промышленности за август

Церемония вручения премии «Глобальная энергия» состоится в рамках РЭН

Ижорские заводы отгрузили корпус реактора для 4-го энергоблока АЭС Куданкулам

«Глобальная энергия» приглашает на первую пресс-конференцию лауреатов 2019 года

Глубокую декарбонизацию и новые стратегии для нулевых выбросов СО2 обсудят в ОАЭ

ОМЗ-Спецсталь продолжает модернизацию сталеплавильного производства

ИЗ завершают контрольную сборку корпуса реактора для IV блока АЭС Куданкулам

Эксперты: энергетическая, водная и продовольственная безопасности на грани

Рае Квон Чунг: Современному миру необходима новая энергетическая парадигма

Булат Нигматулин: Оппозиция выводит людей на митинги. Почему КПРФ плетется в хвосте?

Эксперты «Глобальной энергии» готовятся к сессии «Миссия выполнима» в рамках ВЭК

ИПЕМ опубликовал мониторинг состояния российской промышленности за июль

«Глобальная энергия» примет участие во Всемирном энергетическом конгрессе

СНС лаборатории квантовой химии ПИЯФ включен в «Периодическую таблицу молодых химиков»

Идеолог «водородной энергетики» Торстейнн Инги Сигфуссон скончался в возрасте 65 лет

Б.И.Нигматулин выстапил на «СПЕЦтелеканале» в защиту П.Н.Грудинина

Архив новостей

Источник: http://www.proatom.ru/modules.php?name=News&file=article&sid=7954

§ 124. Закон всемирного тяготения

Как найти массу по закону всемирного тяготения

И. Ньютон сумел вывести из законов Кеплера один из фундаментальных законов природы — закон всемирного тяготения. Ньютон знал, что для всех планет Солнечной системы ускорение обратно пропорционально квадрату расстояния от планеты до Солнца и коэффициент пропорциональности — один и тот же для всех планет.

Отсюда следует прежде всего, что сила притяжения, действующая со стороны Солнца на планету, должна быть пропорциональна массе этой планеты. В самом деле, если ускорение планеты дается формулой (123.5), то сила, вызывающая ускорение,

,

где  — масса этой планеты. С другой стороны, Ньютону было известно ускорение, которое Земля сообщает Луне; оно было определено из наблюдений движения Луны, обращающейся вокруг Земли.

Это ускорение примерно в  раз меньше ускорения , сообщаемого Землей телам, находящимся вблизи земной поверхности. Расстояние же от Земли до Луны равно приблизительно  земным радиусам.

Иными словами, Луна отстоит от центра Земли в  раз дальше, чем тела, находящиеся на поверхности Земли, а ускорение ее в  раз меньше.

Если принять, что Луна движется под действием притяжения Земли, то отсюда следует, что сила земного притяжения, так же как и сила притяжения Солнца, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Наконец, сила притяжения Земли прямо пропорциональна массе притягиваемого тела. Этот факт Ньютон установил на опытах с маятниками.

Он обнаружил, что период качаний маятника не зависит от его массы. Значит, маятникам разной массы Земля сообщает одинаковое ускорение, и, следовательно, сила притяжения Земли пропорциональна массе тела, на которое она действует.

То же, конечно, следует из одинаковости ускорения свободного падения  для тел разных масс, но опыты с маятниками позволяют проверить этот факт с большей точностью.

Эти сходные черты сил притяжения Солнца и Земли и привели Ньютона к заключению о том, что природа этих сил едина и что существуют силы всемирного тяготения, действующие между всеми телами и убывающие обратно пропорционально квадрату расстояния между телами. При этом сила тяготения, действующая на данное тело массы , должна быть пропорциональна массе .

Исходя из этих фактов и соображений, Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения таким образом: любые два тела притягиваются друг к другу с силой, которая направлена по линии, их соединяющей, прямо пропорциональна массам обоих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, т. е. сила взаимного тяготения

, (124.1)

где  и  – массы тел,  — расстояние между ними, а  — коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной (способ ее измерения будет описан ниже). Сращивая эту формулу с формулой (123.4), видим, что , где  — масса Солнца. Силы всемирного тяготения удовлетворяют третьему закону Ньютона. Это подтвердилось всеми астрономическими наблюдениями над движением небесных тел.

В такой формулировке закон всемирного тяготения применим к телам, которые можно считать материальными точками, т. е.

к телам, расстояние между которыми очень велико по сравнению с их размерами, иначе следовало бы учитывать, что разные точки тел отстоят друг от друга на разные расстояния.

Для однородных шарообразных тел формула верна при любом расстоянии между телами, если в качестве  взять расстояние между их центрами. В частности, в случае притяжения тела Землей расстояние нужно отсчитывать от центра Земли.

Это объясняет тот факт, что сила тяжести почти не убывает по мере увеличения высоты над Землей (§ 54): так как радиус Земли равен примерно 6400 , то при изменении положения тела над поверхностью Земли в пределах даже десятков километров сила притяжения Земли остается практически неизменной.

Гравитационную постоянную можно определить, измерив все остальные величины, входящие в закон всемирного тяготения, для какого-либо конкретного случая.

Определить значение гравитационной постоянной впервые удалось при помощи крутильных весов, устройство которых схематически изображено на рис. 202.

Легкое коромысло, на концах которого закреплены два одинаковых шара массы , повешено на длинной и тонкой нити.

Коромысло снабжено зеркальцем, которое позволяет оптическим способом измерять малые повороты коромысла вокруг вертикальной оси. К шарам  с разных сторон могут быть приближены два шара значительно большей массы .

Рис. 202. Схема крутильных весов для измерения гравитационной постоянной

Силы притяжения малых шаров к большим создают пару сил, вращающую коромысло по часовой стрелке (если смотреть сверху).

Измерив угол, на который поворачивается коромысло при приближении к шарам  шаров , и, зная упругие свойства нити, на которой подвешено коромысло, можно определить момент пары сил, с которыми притягиваются массы  к массам .

Так как массы шаров  и  и расстояние между их центрами (при данном положении коромысла) известны, то из формулы (124.1) может быть найдено значение . Оно оказалось равным

.

После того как было определено значение , оказалось возможным из закона всемирного тяготения определить массу Земли. Действительно, в соответствии с этим законом, тело массы , находящееся у поверхности Земли, притягивается к Земле с силой

,

где  — масса Земли, а  — ее радиус. С другой стороны, мы знаем, что . Приравняв эти величины, найдем

. (124.2)

Значения всех величин, стоящих в правой части равенства, известны. Их подстановка дает

.

Отметим, что, согласно формуле (124.2), ускорение свободного падения

. (124.3)

Из закона всемирного тяготения следует, что ускорения, сообщаемые друг другу телами с массами  и , находящимися на расстоянии  друг от друга, равны

.

Эти формулы отражают уже отмеченную выше черту сил тяготения: ускорение данного тела, вызванное тяготением другого тела, не зависит от массы данного тела. Далее, из (124.3) следует, что

.

Таким образом, хотя силы всемирного тяготения, действующие между телами различной массы, равны, значительное ускорение получает тело малой массы, а тело большой массы испытывает малое ускорение.

Так как суммарная масса всех планет Солнечной системы составляет немногим больше  массы Солнца, ускорение, которое испытывает Солнце в результате действия на него сил тяготения со стороны планет, ничтожно мало по сравнению с теми ускорениями, которые сила тяготения Солнца сообщает планетам. Относительно малы и силы тяготения, действующие между планетами.

Поэтому при рассмотрении законов движения планет (законов Кеплера) мы не учитывали движения самого Солнца и приближенно считали, что траектории планет — эллиптические орбиты, в одном из фокусов которых находится Солнце.

Однако в точных расчетах приходится принимать во внимание те «возмущения», которые вносят в движение самого Солнца или какой-либо планеты силы тяготения со стороны других планет.

124.1. Насколько уменьшится сила земного притяжения, действующая на ракетный снаряд, когда он поднимется на 600 км над поверхностью Земли? Радиус Земли принять равным 6400 км.

124.2. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Луны приблизительно в 3,7 раза меньше радиуса Земли. Найдите вес человека на Луне, если его вес на Земле равен 600Н.

124.3. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. Найдите на линии, соединяющей центры Земли и Луны, точку, в которой равны друг другу силы притяжения Земли и Луны, действующие на помещенное в этой точке тело.

Источник: https://sfiz.ru/uchebnik/uch_mehanika/uch_krivoldvig/124-zakon-vsemirnogo-tyagoteniya

Физ-мат класс

Как найти массу по закону всемирного тяготения

   4. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела. Невесомость

1. Силы гравитации. 2. Закон всемирного тяготения. 3. Физический смысл гравитационной постоянной. 4. Сила тяжести. 5. Вес тела, перегрузки. 6. Невесомость. 7. Распространенные ошибки.

Исаак Ньютон выдвинул предположение, что между любыми телами в природе существуют силы взаимного притяжения. Эти силы называют силами гравитации или силами всемирного тяготения. Сила несмирного тяготения проявляется в космосе, Солнечной системе и на Земле. Ньютон обобщил законы движения небесных тел и выяснил, что сила равна:

,

где и – массы взаимодействующих тел, — расстояние между ними, — коэффициент пропорциональности, который называется гравитационной постоянной. Численное значение гравитационной постоянной опытным путем определил Кавендиш, измеряя силу взаимодействия между свинцовыми шарами. В результате закон всемирного тяготения звучит так: между любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки.

Физический смысл гравитационной постоянной вытекает из закона всемирного тяготения. Если [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ], [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ], то , т. е. гравитационная постоянная равна силе, с которой притягиваются два тела по 1 кг на расстоянии 1 м.

Численное значение: . Силы всемирного тяготения действуют между любыми телами в природе, но ощутимыми они становятся при больших массах (или если хотя бы масса одного из тел велика).

Закон же всемирного тяготения выполняется только для материальных точек и шаров (в этом случае за расстояние принимается расстояние между центрами шаров).

Частным видом силы всемирного тяготения является сила притяжения тел к Земле (или к другой планете). Эту силу называют силой тяжести. Под действием этой силы все тела приобретают ускорение свбодного падения. В соответствии со вторым законом Ньютона , следовательно, .

Сила тяжести всегда направлена к центру Земли. В зависимости от высоты над поверхностью Земли и географической широты положения тела ускорение свободного падения приобретает различные значения.

На поверхности Земли и в средних широтах ускорение свободного падения равно [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ].

В технике и быту широко используется понятие веса тела. Весом тела называют силу, с которой тело давит на опору или подвес в результате гравитационного притяжения к планете (рис. 5). Вес тела обозначается [Unparseable or potentially dangerous latex formula.

Error 3 ]. Единица веса — ньютон (Н). Так как вес равен силе, с которой тело действует на опору, то в соответствии с третьим законом Ньютона по величине вес тела равен силе реакции опоры.

Поэтому, чтобы найти вес тела, необходимо определить, чему равна сила реакции опоры.

Рассмотрим случай, когда тело вместе с опорой не движется. В этом случае сила реакции опоры, а следовательно, и нее тела равен силе тяжести (рис. 6):

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ].

В случае движения тела вертикально вверх вместе с опорой с ускорением по второму закону Ньютона можно записать (рис. 7, а).

В проекции на ось : , отсюда .

Следовательно, при движении вертикально вверх с ускорением вес тела увеличивается и находится по формуле .

Увеличение веса тела, вызванное ускоренным движением опоры или подвеса, называют перегрузкой. Действие перегрузки испытывают на себе космонавты как при взлете космической ракеты, так и при торможении корабля при входе в плотные слои атмосферы. Испытывают перегрузки и летчики при вы-полнении фигур высшего пилотажа, и водители автомобилей при резком торможении.

Если тело движется вниз по вертикали, то с помощью аналогичных рассуждений получаем ; m g – N = m a [/tex]; ; , т. е. вес при движении по вертикали с ускорением будет меньше силы тяжести (рис. 7, б).

Если тело свободно падает, то в этом случае [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ].

Состояние тела, в котором его вес равен нулю, называют невесомостью. Состояние невесомости наблюдается в самолете или космическом корабле при движении с ускорением свободного падения независимо от направления и значения скорости их движения.

За пределами земной атмосферы при выключении реактивных двигателей на космический корабль действует только сила всемирного тяготения.

Под действием этой силы космический корабль и все тела, находящиеся в нем, движутся с одинаковым ускорением, по¬этому в корабле наблюдается состояние невесомости.

Источник: http://fmclass.ru/phys.php?id=485a6a1b32752

Глава 8. Закон всемирного тяготения

Как найти массу по закону всемирного тяготения

Массивные тела, даже находящиеся на больших расстояниях друг от друга, притягиваются друг к другу. Такое взаимодейст-вие называется гравитационным.

Закон гравитационного взаимодействия тел был установлен Ньютоном на основе анализа имеющихся в его распоряжении экспериментальных данных и называется законом всемирного тяготения.

Закон всемирного тяготения утверждает, что два точечных тела с массами и , находящиеся на расстоянии друг от друга, притягиваются друг к другу с силой

(8.1)

где — коэффициент пропорциональности, который называется гравитационной постоянной.

Обратим внимание читателя на то, что закон всемирного тяготения в форме (8.1) справедлив только для точечных тел. Для нахождения силы гравитационного взаимодействия протяженных тел используется принцип суперпозиции гравитационных сил.

В соответствии с этим принципом силы гравитационного взаимодействия в системе из трех точечных тел можно вычислить, находя силы взаимодействия каждой пары тел друг к другу по формуле (8.1) и складывая затем векторы этих сил.

Например, чтобы найти силу , действующую на массу в системе тел , и (см. рисунок), нужно найти силу , действующую на тело со стороны тела (при этом можно использовать закон всемирного тяготения в форме (8.1)).

Затем по закону всемирного тяготения нужно найти силу , действующую на тело со стороны тела , а затем сложить получившиеся векторы

(8.2)

(аналогичным образом можно найти силу, действующую на другие массы и ). Принцип суперпозиции дает рецепт поиска гравитационных сил, действующих между протяженными (неточечными) телами. Такие тела нужно мысленно разделить на точечные части, найти силу взаимодействия каждой пары точечных частей, просуммировать полученные вектора (число которых, вообще говоря, бесконечно большое).

В математике разработаны методы такого суммирования, но в программу школьного курса физики эти методы не входят. Нужно знать только, что такая процедура существует и уметь применять ее в простейших случаях, когда суммирование выполняется элементарно на основе свойств симметрии тел.

Кроме того, нужно знать, что для тел сферической формы, находящихся вне друг друга, применение принципа суперпозиции приводит в точности к закону всемирного тяготения в форме (8.1), в котором — расстояние между центрами тел (это утверждение впервые доказал Ньютон, разработав для выполнения бесконечного суммирования основы математического анализа).

Из последнего утверждения следует, что для силы тяжести точечного тела массой , находящегося на поверхности некоторой планеты сферической формы, справедливо соотношение

(8.3)

где и — масса и радиус планеты. С другой стороны, сила тяжести описывается соотношением . Поэтому из формулы (8.3) получаем выражение для ускорения свободного падения на поверхности планеты через ее массу и радиус

(8.4)

В задачах на закон всемирного тяготения часто рассматривают вращательное движение спутников вокруг планет.

Если спутник движется с выключенным двигателем, то существует определенное соотношение между его скоростью и радиусом орбиты.

Действительно, при движении со скоростью по окружности радиуса спутник имеет ускорение , которое сообщается ему гравитационной силой (другие силы на спутник не действуют). Поэтому второй закон Ньютона для спутника дает

(8.5)

Откуда находим

(8.5)

Если рассматриваются орбиты, расположенные на небольшой высоте над поверхностью планеты, когда в формуле (8.6) практически совпадает с радиусом планеты, скорость (8.6) называется первой космической скоростью для данной планеты. Рассмотрим применение этих соотношений и законов к решению задач.

В задаче 8.1.1 рассматриваются точечные тела, поэтому для вычисления силы их взаимодействия используем закон все-мирного тяготения (8.1). Из него следует, что при увеличении в 3 раза расстояния между этими телами сила их гравитационного притяжения уменьшается в 9 раз (ответ 4).

Если массу одного точечного тела увеличить в 2 раза, а массу второго увеличить в 3 раза при неизменном расстоянии между телами (задача 8.1.2), то из закона (8.1) следует, что сила их гравитационного взаимодействия увеличится в 6 раз (ответ 3). Аналогично из закона (8.1) находим, что в задаче 8.1.3 сила взаимодействия тел уменьшится 8 раз (ответ 3).

Применяя формулу (8.4) для ускорения свободного падения на поверхности планеты и на таком расстоянии от центра, когда ускорение свободного падения равно половине его значения на поверхности, получаем (задача 8.1.4)

Из этих формул заключаем, что (ответ 1).

Из формулы (8.4) следует, что отношение ускорений свободного падения на поверхности двух планет с массами и радиусами , и , равно

Поэтому в задаче 8.1.5 получаем для ускорения свободного падения на поверхности Марса

(ответ 2).

В задаче 8.1.6 используется то обстоятельство, что гравитационное взаимодействие тел подчиняется третьему закону Ньютона: сила всемирного тяготения (8.1) действует как на одно, так и на другое тело. Поэтому из второго закона Ньютона заключаем, что ускорения этих тел относятся обратно отношению масс

(ответ 3).

Используя закон всемирного тяготения, получим для силы притяжения Меркурия и Земли к Солнцу (задача 8.1.7)

где — масса Солнца, и — массы Меркурия и Земли, и — расстояния от Меркурия и Земли до Солнца. Отсюда находим

(ответ — 2).

Из закона всемирного тяготения для ракеты (задача 8.1.8) следует, что сила притяжения ракеты к Земле уменьшается в 4 раза по сравнению с силой притяжения на поверхности, если расстояние от ракеты до центра Земли возрастает вдвое. Это значит, что ракета будет находиться на расстоянии, равном радиусу Земли от поверхности (ответ 1).

В задаче 8.1.9 будем использовать принцип суперпозиции. Силы, действующие на центральное тело со стороны двух других тел, показаны на рисунке. По закону всемирного тяготения находим силу, действующую на центральное тело со стороны левого тела

и силу, действующую на центральное тело со стороны правого тела

Поскольку эти силы направлены противоположно, находим, что результирующая сила равна

(ответ 3).

Очевидно, силы, действующие на тело, находящееся в вершине прямого угла (задача 8.1.10) направлены под прямым углом друг к другу (см. рисунок) и определяются законом всемирного тяготения . Поэтому результирующая сила направлена по биссектрисе прямого угла и равна

(ответ 2).

Ускорение свободного падения тела массой определяется соотношением

(1)

где — гравитационная сила, действующая на тело. Очевидно, что не зависит от массы тела, поскольку гравитационная сила пропорциональна массе этого тела, которая, таким образом, сокращается в отношении (1) (задача 8.2.1 – ответ 4).

Как говорилось во введении к настоящей главе, сила притяжения сферических тел определяется законом всемирного тяготения в форме (8.1), в котором — расстояние между их центрами. Поэтому в задаче 8.2.2 сила притяжения двух шаров определяется формулой (2).

Сила взаимодействия двух одинаковых шаров с массой и радиусом , касающихся друг друга, равна (задача 8.2.3)

Для ответа на вопрос задачи эту силу удобно выразить через плотность и радиус. Используя определение плотности ( , где — объем шаров), получаем

Из этой формулы следует, что сила взаимодействия двух касающихся шаров при их фиксированной плотности пропорциональна четвертой степени их радиуса. Поэтому при увеличении радиуса вдвое сила взаимодействия возрастет в 16 раз (ответ 4).

Согласно принципу суперпозиции для нахождения силы, действующей на точечное тело, помещенное в центр массивного кольца, со стороны этого кольца (задача 8.2.

4), необходимо мысленно разбить кольцо на точечные части, вычислить силы, действующие на тело со стороны этих частей и просуммировать найденные векторы.

Очевидно, благодаря симметрии задачи мы получим нуль, поскольку для каждого малого участка кольца найдется противоположный (см. рисунок), который даст такую же по величине, но противоположно направленную силу (ответ 4).

Когда тело движется на малой высоте над поверхностью планеты, его ускорение равно , где — первая космическая скорость, — радиус планеты. С другой стороны ускорение тела равно ускорению свободного падения на поверхности . Поэтому ускорение свободного падения на поверхности планеты из задачи 8.2.5 равно

(ответ 1).

Первая космическая скорость определяется формулой (8.6). Поэтому правильный ответ в задаче 8.2.63. Чтобы ответить на вопрос об изменении первой космической скорости при изменении радиуса и массы планеты, но неизменной плотности (задача 8.2.7), удобно выразить скорость (8.6) через плотность и радиус планеты

Отсюда следует, что при фиксированной плотности планеты первая космическая пропорциональна ее радиусу (ответ 2).

Для Земли вычисления первой космической скорости по формуле из решения задачи 8.2.5 дают: , где — ускорение свободного падения на поверхности Земли, — радиус Земли. Поэтому правильный ответ в задаче 8.2.83.

Весом тела называется сила, с которой тело действует на опору и которая равна по величине силе реакции опоры. Сила реакции опоры может обратиться в нуль по двум причинам. Во-первых, если нет силы тяжести, которая бы действовала на тело и прижимала бы его к опоре.

А во-вторых, если сила тяжести есть, но она сообщает и телу и опоре одинаковые ускорения, в результате чего тело к опоре не прижимается. Именно второй случай реализуется в космическом корабле, свободно вращающемся вокруг Земли (задача 8.2.9).

Сила тяжести здесь, конечно, есть (в противном случае корабль не вращался бы, а двигался прямолинейно и равномерно). Но поскольку сила тяжести, действующая на любое тело, пропорциональна его массе, она сообщает и кораблю и всем телам внутри него одинаковые ускорения.

В результате корабль и все тела внутри него постоянно «падают» на Землю с одинаковыми ускорениями и, следовательно, вес этих тел внутри корабля равен нулю (ответ 3).

При свободном круговом движении спутника вокруг планеты его скорость и радиус орбиты связаны друг с другом соотноше-нием (8.6).

Эта связь возникает потому, что на данной орбите гравитационная сила сообщает определенное ускорение, которое совпадает с центростремительным ускорением только при определенной скорости спутника. А если скорость спутника уменьшить по сравнению с этой скоростью (задача 8.2.

10)? Тогда для сохранения орбиты спутника потребуется меньшая центростремительная сила (так как уменьшится его центростремительное ускорение).

А поскольку гравитационная сила на той же орбите не изменится необходимо направить силу тяги двигателя так, чтобы сумма гравитационной силы и силы тяги была направлена к центру орбиты, а по величине была меньше гравитационной силы. Это значит, что сила тяги должна быть направлена противоположно гравитационной силе (ответ 3).

Источник: http://online.mephi.ru/courses/sge/data/reference_book/8/p8.html

Помощь права
Добавить комментарий